Implémentation en Python

L'implémentation de la méthode de fausse position consiste donc à calculer les termes de la suite  \((a_n)\) définie par  \(a_0=a\) et, pour tout entier naturel  \(n\) , \(a_{n+1}=b-\dfrac{b-a_n}{f(b)-f(a_n)} \times f(b)\) .
Plus la valeur de  \(n\) sera élevée, plus  \(a_n\) sera proche de la solution recherchée.

Exercice

On considère la fonction \(f:x\mapsto x^3-4x^2+2x-2\) .

1. Calculer  \(f(3)\) et \(f(4)\) .
2. Vérifier que la fonction  \(f\) est croissante et convexe sur l'intervalle \([3;4]\) .
3. Compléter le programme ci-dessous qui permet d'implémenter la fonction  \(f\) et la suite  \((a_n)\) construite à l'aide de la méthode de la fausse position. Utiliser alors cette suite pour calculer \(a_{100}\) .

Remarque : on rappelle qu'en Python, la puissance s'écrit **.

def f(x) :
    return ...

def fausse_position(f, a, b, n):
    '''
    construit la suite (a_n) donnée par la méthode de la fausse position
    ------
    Entrées :
    f : une fonction croissante et convexe sur un intervalle [a,b]
    a : un réel, borne inférieure de l'intervalle considéré, vérifiant f(a)<0
    b : un réel, borne supérieure de l'intervalle considéré, vérifiant f(b)>0
    n : le nombre de termes de la suite (a_n) à calculer
    ------
    Sortie :
    Une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=0 sur [a,b]
    '''
    a = a
    b = b
    for i in range(...) :
        a = ...
    return ...